Vijeto teorema - Matematikos Guru

Temų sritis ➤ VBE I (11 klasė) išplėstinis kursas

Vijeto teorema yra naudinga matematinė taisyklė, kuri sieja kvadratinės lygties x² + px + q = 0 sprendinius su jos koeficientais p ir q. Ši teorema padeda greitai ir efektyviai spręsti lygtis arba sudaryti jas pagal duotus sprendinius. 😊

Teoremos esmė:

Jei x₁ ir x₂ yra kvadratinės lygties sprendiniai, galioja šios lygybės:
- Sprendinių suma: x₁ + x₂ = -p.
- Sprendinių sandauga: x₁ × x₂ = q.

Pavyzdžiai

1 pavyzdys: Raskime kvadratinės lygties sprendinius

Turime lygtį: x² – 7x + 10 = 0.

Sprendimas:

Apskaičiuojame sprendinių sumą ir sandaugą:
- x₁ + x₂ = -(-7) = 7
- x₁ × x₂ = 10
Pagal šiuos duomenis galime atspėti sprendinius: 2 ir 5, nes 2 + 5 = 7 ir 2 × 5 = 10.

Atsakymas: x₁ = 2, x₂ = 5.

2 pavyzdys: Parašykime kvadratinę lygtį pagal sprendinius

Turime sprendinius: 4 ir -3.

Sprendimas:

Apskaičiuojame koeficientus:
- p = -(x₁ + x₂) = -(4 + (-3)) = -1
- q = x₁ × x₂ = 4 × (-3) = -12
Sudarome lygtį: x² – x – 12 = 0.

Atsakymas: x² – x – 12 = 0.

3 pavyzdys: Parašykime lygtį, kai koeficientas a nėra 1

Turime sprendinius: -2 ir 5, o a = 2.

Sprendimas:

Apskaičiuojame koeficientus p ir q:
- p = -(x₁ + x₂) = -((-2) + 5) = -3
- q = x₁ × x₂ = (-2) × 5 = -10
Sudarome lygtį: 2(x² + 3x – 10) = 0.
Lygtis tampa: 2x² + 6x – 20 = 0.

Atsakymas: 2x² + 6x – 20 = 0.

4 pavyzdys: Raskime kitą sprendinį, kai žinome vieną iš jų

Turime lygtį: x² + px + q = 0, vienas sprendinys yra x₁ = 3, o q = 12.

Sprendimas:

Pagal Vijeto teoremą:
- x₁ × x₂ = q, taigi 3 × x₂ = 12.
- Išsprendžiame: x₂ = 4.
Apskaičiuojame p: p = -(x₁ + x₂) = -(3 + 4) = -7.

Atsakymas: x₂ = 4, p = -7.

Išvada

Vijeto teorema padeda greitai surasti kvadratines lygtis pagal sprendinius arba patikrinti jų teisingumą. Ji yra naudingas įrankis tiek mokantis, tiek sprendžiant matematikos uždavinius. 🎓