Trigonometrinės funkcijos

---

Temų sritis ➤ VBE I (11 klasė) išplėstinis kursas

---

Periodinės funkcijos

Periodinė funkcija f(x) vadinama periodine, jei yra toks skaičius T ≠ 0, kad su visais x iš funkcijos apibrėžimo srities x + T taip pat priklauso apibrėžimo sričiai ir f(x + T) = f(x). Šis skaičius T vadinamas funkcijos f(x) periodu.

Periodas T yra mažiausias teigiamas skaičius, už kurį pasikartoja funkcijos reikšmės. Funkcijos su periodais 3, 6, 9 yra pavyzdžiai periodinių funkcijų.

Periodinės funkcijos dažnai naudojamos aprašyti reiškinius gamtoje ir technikoje, kurie pasikartoja reguliariai: svyravimai, bangavimas, ar paros ciklai. Tokios funkcijos dažniausiai aptinkamos fizikoje ir matematikoje, ypač trigonometrijoje.

---

Bet kokio kampo trigonometrinės funkcijos

Žinai, kaip apskaičiuoti bet kokio posūkio kampo x sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą. Dėl to galime kalbėti apie realiojo kintamojo funkcijas:

• f(x) = sin x
• f(x) = cos x
• f(x) = tg x
• f(x) = ctg x

Funkcija f(x) = sin x kiekvienai argumento reikšmei x ∈ R priskiria sinuso reikšmę iš intervalo [-1; 1].

Funkcija f(x) = cos x kiekvienai argumento reikšmei x ∈ R priskiria kosinuso reikšmę iš intervalo [-1; 1].

Funkcija f(x) = tg x kiekvienai argumento reikšmei x ∈ R, išskyrus x = π / 2 + πk, kur k ∈ Z, priskiria tangento reikšmę iš intervalo (-∞; +∞).

Funkcija f(x) = ctg x kiekvienai argumento reikšmei x ∈ R, išskyrus x = πk, kur k ∈ Z, priskiria kotangento reikšmę iš intervalo (-∞; +∞).

📈 Trigonometrinių funkcijų periodiškumas

Trigonometrinės funkcijos yra periodinės. Nagrinėjant posūkio kampus, pastebėjai, kad kai apskritimo spindulys pasisuka kampu 2π (360°), taškas A grįžta į pradinę padėtį ir jo koordinatės nekinta. Tai reiškia, kad posūkio kampų φ1 = x ir φ2 = x + 2πk, kur k ∈ Z, sinuso ir kosinuso reikšmės yra tos pačios.

Taip pat galioja šios taisyklės:

• sin(x + 2πk) = sin x, kur k ∈ Z
• cos(x + 2πk) = cos x, kur k ∈ Z
• tg(x + πk) = tg x, kur k ∈ Z
• ctg(x + πk) = ctg x, kur k ∈ Z

Funkcijų f(x) = sin x ir f(x) = cos x mažiausias teigiamas periodas yra 2π, o funkcijų f(x) = tg x ir f(x) = ctg x mažiausias teigiamas periodas yra π.

💡 Taigi, tangentui bei kotangentui galioja lygybės:

• tg(x + πk) = tg x, kur k ∈ Z
• ctg(x + πk) = ctg x, kur k ∈ Z

---

Funkcija f(x) = sin x

🖊️ Funkcijos f(x) = sin x grafinis braižymas

Norėdami nubraižyti funkcijos f(x) = sin x grafiką, nubraižome vienetinį apskritimą ir taškus A₀, A₁, A₂… padalijame į dvylika lygių dalių. Taškas A₀ atitinka 0° posūkio kampą, taškas A₁ – 30°, taškas A₂ – 60° ir t. t.

Šalia apskritimo pridedame koordinatinę sistemą taip, kad apskritimo skersmuo būtų x ašyje. Trigonometrinių funkcijų grafikus įprasta braižyti naudojant radianus, todėl naudojame atkarpą [0; 2π]. Pažymime atkarpą, kurios ilgis maždaug 6,28.

Kiekvieno apskritimo taško ordinatės (aukštis) atitinka kampo sinuso reikšmę. Susiedami šias ordinates gauname kreivę, vadinamą sinusoide.

📈 Sinusoidės grafiko savybės

Kadangi funkcija f(x) = sin x yra periodinė, jos periodas yra 2π. Grafiko dalys kartojasi, pratęsiant jas tiek teigiamoje, tiek neigiamoje Ox ašies pusėje.

Atkreipk dėmesį! Taškai, tokie kaip A₁ ir A₅, A₂ ir A₄, turi vienodas ordinates. Tai reiškia, kad sinusoidės bangos yra simetriškos intervalo vidurio atžvilgiu.

---

📊 Funkcijos f(x) = sin x savybės

• Apibrėžimo sritis: visi realieji skaičiai R.
• Reikšmių sritis: intervalas [-1; 1].
• Periodas: mažiausias teigiamas periodas yra 2π.
• Simetrija: grafikas simetriškas koordinačių pradžios taško atžvilgiu, funkcija yra nelyginė: f(-x) = -sin(x).
• Nuliai: funkcijos reikšmės lygios nuliui taškuose: … -2π, -π, 0, π, 2π, 3π … Taip galima užrašyti trumpiau:
  • f(x) = 0, kai x = πk, k ∈ Z.
• Intervalai, kuriuose f(x) > 0: periodiškai kartojasi kas 2π. Paimkime vieną artimiausią koordinačių pradžios tašką esantį intervalą (0; π) ir pridėkime 2πk. Trumpiau tariant:
  • f(x) > 0, kai x ∈ (2πk; π + 2πk), k ∈ Z.
  • f(x) < 0, kai x ∈ (π + 2πk; 2π + 2πk), k ∈ Z.
• Funkcijos kilimo ir kritimo intervalai:
  • f(x) didėja, kai x ∈ (-π/2 + 2πk; π/2 + 2πk), k ∈ Z.
  • f(x) mažėja, kai x ∈ (π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk), k ∈ Z.
• Didžiausia reikšmė: f(π/2 + 2πk) = 1, k ∈ Z.
• Mažiausia reikšmė: f(3π/2 + 2πk) = -1, k ∈ Z.

---

🔄 Atvirkštinė funkcija g(x) = arcsin x ir jos savybės

Mokysitės spręsti lygtis sin x = y, tad pravartu apibrėžti funkciją f(x) = sin x atvirkštine funkcija. Žinai, kad atvirkštinės funkcijos galime ieškoti tik intervale, kur funkcija yra tik didėjančioji arba mažėjančioji. Šis intervalas yra [−π/2; π/2].

Lygties sin x = y sprendiniai intervale [−π/2; π/2] užrašomi taip: x = arcsin y (skaitykime: arkssinusas y).

Žinai, kad kitos atvirkštinės funkcijos reikšmės ir apibrėžimo sritys yra susikeitusios, o grafikai simetriški tiesės y = x atžvilgiu.

Intervale [−π/2; π/2] nubrėžtas funkcijos y = sin x grafikas. Naudodami simetriją, gauname funkcijos g(x) = arcsin x grafiką.

• D(g): [-1; 1]
• E(g): [-π/2; π/2]
• Savybė: g(x) yra nelyginė funkcija.

📌 Prisimink! arccos(-x) = -arcsin(x).

---

🧮 Lygčių ir nelygybių sprendimas

Sprendžiame lygtį sin x = a. Vienoje koordinačių plokštumoje nubraižome sinusoide ir tiesę y = a.

🔑 Lygties sin x = a sprendimas:

Čia k ∈ Z.

• sin x = 0; x = πk;
• sin x = 1; x = π/2 + 2πk;
• sin x = -1; x = -π/2 + 2πk;
• sin x = a, -1 ≤ a ≤ 1; x = (-1)^k arcsin a + πk;
• kai |a| > 1, lygtis neturi realių sprendinių.

📊 Pastebime:

• Kai |a| > 1, tiesė y = a nekerta sinusoidės, todėl lygtis neturi realiųjų sprendinių.
• Kai a = 1, tiesė y = 1 liečia sinusoidė. Sprendiniai: x = π/2 + 2πk, k ∈ Z.
• Kai a = -1, tiesė y = -1 liečia sinusoidė. Sprendiniai: x = -π/2 + 2πk, k ∈ Z.
• Kai a = 0, tiesė y = 0 sutampa su koordinačių ašimi Ox. Sprendiniai: x = πk, k ∈ Z.
• Kai -1 < a < 1, sprendinių ieškome atkarpoje, apimančioje vieną sinusoidės periodą, t. y. 2π ilgio intervale [−π; π]. Kiti sprendiniai kartojasi kas 2π. Šioje atkarpoje matome du sprendinius: x₁ ir x₂, kuriuos galime apibrėžti kaip:
  • x₁ = arcsin a
  • x₂ = π – x₁ = π – arcsin a

📌 Atsižvelgiant į periodiškumą, lygties sin x = a sprendiniai gali būti užrašomi:
x = (-1)^k arcsin a + πk, k ∈ Z. Kai a = ±1, naudojame konkrečius sprendimus. 🧠

---

Funkcija f(x) = cos x

Funkcijos f(x) = cos x grafikas ir savybės 📈

Funkcijos f(x) = cos x grafika, vadinama kosinusoide, galime nubraižyti panašiai kaip ir funkcijos f(x) = sin x, t. y. pasinaudodami vienetiniu apskritimu. Galime elgtis ir kitaip – skaičiuotuvu sudaryti funkcijos reikšmių lentelę ir pagal jos duomenis nubraižyti grafiką arba grafiką nubraižyti kuria nors kompiuterio programa. Jos bus toks kaip funkcijos f(x) = sin x grafikas, tik pasislinkęs per π/2 vienetų į kairę.

Įsimink!

• D(f) = ℝ,
• E(f) = [-1; 1],
• T = 2π,
• cos(-x) = cos x.

Funkcijos f(x) = cos x savybės ✨

• D(f) = ℝ;
• E(f) = [-1; 1];
• funkcija yra periodinė, jos mažiausias teigiamas periodas T = 2π;
• funkcija yra lyginė, cos(-x) = cos x;
• f(x) = 0, kai x ∈ (π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk), k ∈ ℤ;
• f(x) > 0, kai x ∈ (-π/2 + 2πk; π/2 + 2πk), k ∈ ℤ;
• f(x) < 0, kai x ∈ (π/2 + 2πk; 3π/2 + 2πk), k ∈ ℤ;
• f(x) reikšmės didėja, kai x ∈ (-π/2 + 2πk; 2πk), k ∈ ℤ;
• f(x) reikšmės mažėja, kai x ∈ (2πk; 3π/2 + 2πk), k ∈ ℤ;
• didžiausia reikšmė, lygi 1, funkcija įgyja taškuose x = 2πk, k ∈ ℤ;
• mažiausia reikšmė, lygi -1, funkcija įgyja taškuose x = π + 2πk, k ∈ ℤ.

🔹 Funkcija g(x) = arccos x 🔹

Intervale (0; π) funkcija f(x) = cos x yra mažėjančioji ir lygtis cos x = y turi vienintelį sprendinį x = arccos y. Sukeitę nežinomuosius vietomis, turime atvirkštinę funkciją g(x) = arccos x (skaitome: arkkosinusas x).

Viena kitai atvirkštinių funkcijų reikšmių ir apibrėžimo sritys yra susikeitusios, o grafikai simetriški tiesės y = x atžvilgiu, todėl, turėdami funkcijos y = cos x grafiką intervale [0; π], galime nubraižyti jai atvirkštinės funkcijos g(x) = arccos x grafiką. Iš jo matome, kad g(x) = arccos x yra mažėjančioji ir nei lyginė, nei nelyginė funkcija. Galima įsitikinti, kad arccos(-x) = π – arccos x.

Įsimink! 🧠

• D(g) = [-1; 1],
• E(g) = [0; π],
• arccos(-x) = π – arccos x.

Lygties ir nelygybių sprendimas

Sprendžiame lygtį cos x = a. Vienoje koordinačių plokštumoje nubrėžiame kosinusoidę y = cos x ir tiesę y = a.

• Kai |a| > 1, tiesė y = a nekerta kosinusoidės, todėl lygtis sprendinių neturi.
• Kai a = 1, tiesė y = 1 liečia kosinusoide. Sprendiniai: x = 2πk, k ∈ Z.
• Kai a = -1, tiesė y = -1 liečia kosinusoide. Sprendiniai: x = π + 2πk, k ∈ Z.
• Kai a = 0, tiesė y = 0 (ašis Ox) kerta kosinusoide taškuose x = π/2 + πk, k ∈ Z.
• Kai -1 < a < 1, sprendinių ieškosime viename kosinusoides 2π ilgio intervale [-π, π], kiti sprendiniai kartosis kas 2π. Šiame intervale lygtis turi du sprendimus: x₁ ir x₂ = -x₁. Pagal apibrėžtį x₁ = arccos a. Tada x₂ = – arccos a. Sprendinius užrašome vienu reiškiniu:
  x = ± arccos a + 2πk, k ∈ Z.

---

Funkcija f(x) = tg x

Funkcijos f(x) = tg x grafikas ir savybės

Šios funkcijos grafiką taip pat galima nubraižyti remiantis vienetiniu apskritimu arba sudarius funkcijos reikšmių lentelę (skaičiuotuvu apskaičiavus kuo daugiau funkcijos reikšmių), arba paprasčiausiai kompiuteriu. Jau žinai, kad x ≠ π/2 + πk, be to, funkcija yra periodinė, jos mažiausias teigiamas periodas lygus T = π, todėl grafikos dalis nubrėžta intervale [-π/2; π/2], kartojasi kas π vienetų.

• D(f) = R, išskyrus taškus x = π/2 + πk, k ∈ Z;
• E(f) = R;
• Funkcija yra periodinė, jos mažiausias teigiamas periodas T = π;
• Funkcija nelyginė, tg(-x) = -tg(x);
• f(x) = 0, kai x = πk, k ∈ Z;
• f(x) > 0, kai x ∈ (πk; π/2 + πk), k ∈ Z;
• f(x) < 0, kai x ∈ (-π/2 + πk; πk), k ∈ Z;
• Funkcijos reikšmė didėja, kai x ∈ (-π/2 + πk; π/2 + πk), k ∈ Z;
• Didžiausios ir mažiausios reikšmės nėra.

Funkcijos f(x) = tg x grafikas vadinamas tangentoide.

Įsimink!
D(f) = R, išskyrus x = π/2 + πk, k ∈ Z
E(f) = R
T = π
tg(-x) = -tg(x)

---

Funkcija g(x) = arctg x

Funkcija f(x) = tg x intervale (-π/2; π/2) yra didėjančioji ir iš lygybės tg x = y visada galime rasti x reikšmę. Tokia funkcija turi atvirkštinę funkciją g(x) = arctg x (skaitome: arktangentė iks).

Funkcija g(x) = arctg x kiekvienam skaičiui x ∈ R (tangento reikšmei) priskiria tokį skaičių y = g(x) (posūkio kampo reikšmė) iš intervalo (-π/2; π/2), su kuriuo tangentas lygus x.

Nubraižome funkcijos f(x) = tg x grafiką ir, remdamiesi atvirkštinių funkcijų simetriškumo savybe, funkcijos g(x) = arctg x grafiką.

Nustatome atvirkštinės funkcijos savybes:

• D(g) = R, E(g) = (-π/2; π/2)
• Funkcija nėra lyginė, nes arctg(-x) = -arctg x.

---

Lygčių ir nelygybių sprendimas

Lygties tg x = a sprendiniai yra funkcijų f(x) = tg x ir y = a grafikų sankirtos taškų abscisės. Iš brėžinio matyti: su bet kuria a reikšme lygtis tg x = a turi be galo daug sprendinių. Intervale (-π/2; π/2) sprendinys yra vienintelis x = arctg a. Kiti sprendiniai kartojasi kas π.

Visus lygties tg x = a sprendinius galime užrašyti taip:

• x = arctg a + πk, k ∈ Z.

---

Funkcija f(x) = ctg x

📈 Funkcijos f(x) = ctg x grafikas ir savybės

Sudarius funkcijos f(x) = ctg x reikšmių lentelę intervale (0; π), galime šiame intervale nubraižyti grafiko dalį. Pakartoję šią dalį kas π vienetų, gausime funkcijos f(x) = ctg x grafiką – kotangentoidę. Iš jos galime nustatyti funkcijos f(x) = ctg x savybes:

• ⚙️ D(f) = ℝ, išskyrus taškus x = πk, k ∈ ℤ;
• ⚙️ E(f) = ℝ;
• 🔁 funkcija yra periodinė, jos mažiausias teigiamas periodas T = π;
• ↕️ funkcija nelyginė, ctg(-x) = -ctg(x);
• 📍 f(x) = 0, kai x = πk, k ∈ ℤ;
• 📈 f(x) > 0, kai x ∈ (πk; π(k + 1/2)), k ∈ ℤ;
• 📉 f(x) < 0, kai x ∈ (π(k + 1/2); π(k + 1)), k ∈ ℤ;
• ↘️ funkcijos reikšmės mažėja, kai x ∈ (π(k + 1/2); π(k + 1)), k ∈ ℤ.

Funkcijos f(x) = ctg(x) grafikas vadinamas kotangentoide.

Funkcija g(x) = arctg x

Funkcija f(x) = ctg(x) intervale (0; π) yra mažėjančioji ir iš lygybės ctg x = y visada galime rasti x reikšmę. Tokia funkcija turi atvirkštinę funkciją g(x) = arctg(x) (skaitome: arktangentas iks). Funkcija g(x) = arctg x kiekvienam skaičiui x ∈ ℝ (kotangento reikšmei) priskiria tokį skaičių y = g(x) (posūkio kampo reikšmę) iš intervalo (0; π), su kuriuo kotangentas lygus x.

Nustatome atvirkštinės funkcijos savybes:
D(g) = ℝ,
E(g) = (0; π).
Iš grafiko matome, kad funkcija yra nei lyginė, nei nelyginė, nes arctg(-x) = π – arctg(x).

📐 Lygtis ir nelygybių sprendimas

Lygtis ctg x = a su visomis a reikšmėmis turi be galo daug sprendinių, tačiau intervale (0; π) sprendinys yra vienintelis x = arctg a, kiti sprendiniai kartojasi kas π. Visus lygties ctg x = a sprendinius galime užrašyti taip: x = arctg a + πk, k ∈ ℤ. Neužmiršk, kad arctg(-a) = π – arctg(a).

ctg x = a;
x = arctg a + πk, k ∈ Z.

---

Funkcijos grafiko transformacijos ir redukcijos formulės

Apskaičiuojant trigonometrinių funkcijų reikšmes, redukcijos formulės padeda pakeisti kampą (dažniausiai sumažinti). 😊

Jau žinai šias formules:

• sin(180° – α) = sin α
• cos(180° – α) = -cos α

Šios formulės naudojamos vienetinio apskritimo analizėje, padedant lengviau dirbti su kampais. 📐

Funkcijos grafiko transformacijos ir periodiškumas

Žinome, kad funkcijos y = f(ax) grafikas gaunamas iš funkcijos y = f(x) grafiko, kai jį ištempiame arba suspaudžiame pagal reikšmę a. 🔄

• Kai a > 1, grafikas ištempiamas ➡️
• Kai 0 < a < 1, grafikas suspaudžiamas ⬅️

Funkcijos periodas keičiasi pagal šią formulę: T → T/a. 📊

Kitos trigonometrinių funkcijų grafikų transformacijos

Visos trigonometrinių funkcijų grafikų transformacijos atliekamos pagal universalias taisykles. 🔄 Naudok šias taisykles visoms trigonometrinėms funkcijoms! 😊

---

Populiariausios temos:

---

Grįžkite iš Trigonometrinės funkcijos temos į MatematikosGuru.com pradžią