Matematikos Guru

Išmokite matematiką kartu su Matematikos Guru

Lygtys su moduliais




Temų sritis ➤ VBE I (11 klasė) išplėstinis kursas

Lygtys su moduliais – tai lygtys, kuriose kintamasis yra po modulio ženklu. Modulis parodo reikšmės atstumą nuo nulio, todėl visos modulio reikšmės yra neneigiamos. Šių lygčių sprendimui dažniausiai naudojami du pagrindiniai metodai:

  1. Modulio reikšmės įvertinimas.
  2. Modulio apibrėžties taikymas.

Pavyzdys 1: Paprasta modulio lygtis

Spręskime lygtį:
|x + 4| = 6

Sprendimas:

  1. Modulis turi dvi reikšmes: x + 4 = 6 arba x + 4 = -6.
  2. Sprendžiame abi lygtis:
    • x + 4 = 6 → x = 2
    • x + 4 = -6 → x = -10

Atsakymas: x = 2, x = -10

Pavyzdys 2: Lygtis su keliais moduliais

Spręskime lygtį:
|x – 1| + |x + 3| = 8

Sprendimas:

  1. Padalijame ašį į intervalus pagal nulio taškus x = 1 ir x = -3:
    • x < -3
    • -3 ≤ x < 1
    • x ≥ 1
  2. Sprendžiame kiekviename intervale:
    • Kai x < -3:
      -(x – 1) – (x + 3) = 8 → -x + 1 – x – 3 = 8 → -2x – 2 = 8 → x = -5.
      Šis sprendinys tinka.
    • Kai -3 ≤ x < 1:
      -(x – 1) + (x + 3) = 8 → -x + 1 + x + 3 = 8 → 4 = 8.
      Sprendinių nėra.
    • Kai x ≥ 1:
      (x – 1) + (x + 3) = 8 → x – 1 + x + 3 = 8 → 2x + 2 = 8 → x = 3.
      Šis sprendinys tinka.

Atsakymas: x = -5, x = 3

Modulio savybės

Sprendžiant lygčių su moduliais uždavinius, svarbu prisiminti šias modulio savybes:

  • |a| ≥ 0 (modulio reikšmė visada neneigiama).
  • |a| = b, kai b ≥ 0:
    a = b arba a = -b.
  • Jei |f(x)| = g(x), tai sprendžiame dvi lygtis:
    f(x) = g(x) ir f(x) = -g(x).

Pavyzdys 3: Sudėtingesnė lygtis su moduliu

Spręskime lygtį:
|2x – 5| = |x + 3|

Sprendimas:

  1. Nustatome modulio taškus:
    Modulio funkcijos keičia reikšmę, kai viduje esantis reiškinys tampa lygus nuliui:

    • 2x – 5 = 0 → x = 2.5
    • x + 3 = 0 → x = -3

    Taigi ašį padalijame į tris intervalus:

    • x < -3
    • -3 ≤ x < 2.5
    • x ≥ 2.5
  2. Analizuojame kiekvieną intervalą atskirai:

    a) Kai x < -3:
    Abu modulio reiškiniai neigiami, todėl jų apibrėžtys yra:

    • |2x – 5| = -(2x – 5) = -2x + 5
    • |x + 3| = -(x + 3) = -x – 3

    Lygtis tampa:
    -2x + 5 = -x – 3

    Sprendžiame:
    -2x + x = -3 – 5
    -x = -8
    x = 8

    Patikriname:
    x = 8 nepatenka į intervalą x < -3.
    Sprendinių nėra.

    b) Kai -3 ≤ x < 2.5:
    Vienas modulio reiškinys neigiamas, kitas teigiamas:

    • |2x – 5| = -(2x – 5) = -2x + 5
    • |x + 3| = x + 3

    Lygtis tampa:
    -2x + 5 = x + 3

    Sprendžiame:
    -2x – x = 3 – 5
    -3x = -2
    x = 2/3

    Patikriname:
    x = 2/3 patenka į intervalą -3 ≤ x < 2.5.
    Sprendinys: x = 2/3.

    c) Kai x ≥ 2.5:
    Abu modulio reiškiniai teigiami, todėl:

    • |2x – 5| = 2x – 5
    • |x + 3| = x + 3

    Lygtis tampa:
    2x – 5 = x + 3

    Sprendžiame:
    2x – x = 3 + 5
    x = 8

    Patikriname:
    x = 8 patenka į intervalą x ≥ 2.5.
    Sprendinys: x = 8.

Atsakymas:

Sprendiniai yra:
x = 2/3, x = 8. 😊

Šie pavyzdžiai parodo, kaip analizuoti ir spręsti lygčių su moduliais uždavinius. Praktika padeda geriau suprasti šias taisykles! 😊

Populiariausios temos:

Grįžkite iš Lygtys su moduliais temos į MatematikosGuru.com pradžią