Logaritminės lygties sprendimas vienodinant logaritmų pagrindus

Temų sritis ➤ VBE I (11 klasė) išplėstinis kursas

🔑 Sprendžiant logaritmines lygtis, naudinga taikyti logaritmų savybes ir vienodinti logaritmų pagrindus. Tai leidžia perrašyti lygtį į paprastesnę formą: f(x) = g(x). Tačiau svarbu užtikrinti, kad sprendiniai atitiktų logaritmo apibrėžties sritį:

f(x) > 0,
g(x) > 0.

Taip išvengiame pašalinių sprendinių ir gauname teisingą rezultatą.

1️⃣ Pavyzdys

Išspręskime lygtį:

log₂(x – 4) = log₂(6 – x).

Sprendimas:

Vienodiname logaritmo pagrindus. Kadangi logaritmai turi tą patį pagrindą, galime perrašyti lygtį:x – 4 = 6 – x.
Išsprendžiame lygtį:2x = 10, todėl x = 5.
Patikriname sprendinį:
- Sąlyga x – 4 > 0 yra tenkinama, nes \(5 – 4 = 1 > 0\).
- Sąlyga 6 – x > 0 taip pat tenkinama, nes \(6 – 5 = 1 > 0\).

Atsakymas: x = 5.

2️⃣ Pavyzdys

Išspręskime lygtį:

log₃(2x + 1) – log₃(x – 2) = 1.

Sprendimas:

Naudojame logaritmų skirtumo savybę:log₃((2x + 1) / (x – 2)) = 1.
Pritaikome logaritmo apibrėžtį:(2x + 1) / (x – 2) = 3¹, taigi (2x + 1) / (x – 2) = 3.
Išsprendžiame lygtį:2x + 1 = 3(x – 2).
2x + 1 = 3x – 6, todėl x = 7.
Patikriname sprendinį:
- Sąlyga 2x + 1 > 0 tenkinama, nes \(2(7) + 1 = 15 > 0\).
- Sąlyga x – 2 > 0 taip pat tenkinama, nes \(7 – 2 = 5 > 0\).

Atsakymas: x = 7.

⚠️ Pastaba:

Sprendžiant logaritmines lygtis būtina patikrinti sprendinius pagal pradinės lygties apibrėžties sąlygas. Neatitikę sąlygų sprendiniai yra atmetami kaip pašaliniai.