Logaritminės lygties sprendimas remiantis logaritmo apibrėžimu

Temų sritis ➤ VBE I (11 klasė) išplėstinis kursas

🔑 Logaritminės lygties sprendimas grindžiamas logaritmo apibrėžtimi:

log_g(x) f(x) = c ↔ f(x) = g(x)^c.

Tačiau, kadangi logaritmai turi tam tikras taikymo sąlygas, turime užtikrinti, kad:

f(x) > 0,
g(x) > 0,
g(x) ≠ 1.

Sprendžiant logaritmines lygtis, svarbu ne tik išspręsti gautą lygtį, bet ir patikrinti, ar sprendiniai patenka į šias ribas.

1️⃣ Pavyzdys

Išspręskime lygtį:

log₂(x² – 8x + 7) = 3.

Sprendimas:

Pritaikome logaritmo apibrėžtį:x² – 8x + 7 = 2³, taigi x² – 8x – 1 = 0.
Sprendžiame kvadratinę lygtį:x = [-(-8) ± √((-8)² – 4 · 1 · (-1))] / (2 · 1)
x = [8 ± √(64 + 4)] / 2

x = [8 ± 2√17] / 2

Sprendiniai: x₁ = 4 + √17, x₂ = 4 – √17.
Patikriname sąlygas:x² – 8x + 7 > 0, sprendiniai tenkina logaritmo apibrėžtį.

Atsakymas: 4 + √17, 4 – √17.

2️⃣ Pavyzdys

Išspręskime lygtį:

log₃(2x – 5) = 2.

Sprendimas:

Pritaikome logaritmo apibrėžtį:2x – 5 = 3², taigi 2x – 5 = 9.
Išsprendžiame lygtį:2x = 14, x = 7.
Patikriname sąlygas:2x – 5 > 0, kai x = 7, sąlyga tenkinama.

Atsakymas: x = 7.

⚠️ Pastaba:

Patikrinimas yra būtinas žingsnis! Net jei matematiškai išspręsta lygtis atrodo teisinga, jos sprendiniai gali neatitikti logaritmų apibrėžties sąlygų. Visada įsitikinkite, kad sprendiniai priklauso logaritminės funkcijos apibrėžties sričiai. ✅