Logaritminės lygtys

---

Temų sritis ➤ VBE I (11 klasė) išplėstinis kursas

---

📚Logaritminės lygtys – tai lygtis, kuriose nežinomasis randasi logaritmo pagrinde, argumente arba abejose vietose. Pradėkime nuo pagrindų ir pereikime prie sudėtingesnių logaritminių lygties sprendimų būdų. 🧮

1. Logaritmo apibrėžimas ir pagrindinės sąlygos 🔑

Kiekviena logaritminė lygtis remiasi logaritmo apibrėžimu:

• log_a(x) = c, jei a^c = x

Ši sąvoka svarbi, nes ji leidžia logaritmines lygtis paversti rodiklinėmis, kurios yra lengviau sprendžiamos. Tačiau būtina laikytis šių sąlygų:

• a (logaritmo pagrindas) turi būti didesnis už 0 ir nelygus 1.
• x (logaritmo argumentas) turi būti didesnis už 0.

2. Paprastos logaritminės lygtys 💡

Paprastos logaritminės lygtys sprendžiamos tiesiogiai naudojant logaritmo apibrėžimą.

Pavyzdys: Išspręskime lygtį log₃(x) = 2.

Sprendimas: Remiantis logaritmo apibrėžimu, žinome, kad 3² = x. Todėl:

• x = 9.

Atsakymas: x = 9.

3. Logaritminės lygties savybių taikymas 🧠

Sudėtingesnės logaritminės lygtys reikalauja taikyti logaritmo savybes:

• log_a(x) + log_a(y) = log_a(x·y)
• log_a(x) – log_a(y) = log_a(x/y)
• n·log_a(x) = log_a(xⁿ)

Pavyzdys: Išspręskime lygtį log₂(x) + log₂(x – 1) = 3.

Sprendimas:

1. Taikome logaritmo sudėties savybę: log₂(x(x – 1)) = 3.
2. Paverčiame eksponentine lygtimi: x(x – 1) = 2³.
3. Gauname kvadratinę lygtį: x² – x – 8 = 0.
4. Išsprendžiame kvadratinę lygtį: x₁ = 4, x₂ = -2.
5. Patikriname sprendinius: x₂ netinka, nes logaritmo argumentas negali būti neigiamas.

Atsakymas: x = 4.

4. Logaritminių lygties pertvarkymas į rodiklinę formą 🧩

Pavyzdys: Išspręskime lygtį 2·log₅(x) = log₅(25).

Sprendimas:

1. Naudojame logaritmo savybę: 2·log₅(x) = log₅(x²).
2. Lygtis tampa: log₅(x²) = log₅(25).
3. Palyginame argumentus: x² = 25.
4. Ištraukiame šaknį: x = ±5.
5. Patikriname: x = -5 netinka, nes logaritmo argumentas turi būti teigiamas.

Atsakymas: x = 5.

5. Sudėtingesnės logaritminės lygtys 🌟

Tokiose lygtyse dažnai naudojamos kelios logaritmo savybės kartu, pavyzdžiui, dalybos ir daugybos savybės:

Pavyzdys: Išspręskime lygtį log₃(x + 1) – log₃(x – 2) = 2.

Sprendimas:

1. Pritaikome logaritmo atimties savybę: log₃((x + 1)/(x – 2)) = 2.
2. Paverčiame rodikline forma: (x + 1)/(x – 2) = 3².
3. Atlikę veiksmus, gauname lygtį: x + 1 = 9(x – 2).
4. Sprendžiame: x + 1 = 9x – 18.
5. Gauname x: x = 2,5.

Atsakymas: x = 2,5.

6. Nežinomojo keitimo būdas 🧮

Kai logaritminės lygties struktūra sudėtinga, galima įvesti naują nežinomąjį. Pavyzdžiui, log₂(x) = y.

Lygtis log₂(x) + log₂(x – 1) = 3 turi dvi logaritmo funkcijas, kurių argumentai yra x ir x – 1. Kad supaprastintume lygtį ir išvengtume per daug nežinomųjų, įvedame naują nežinomąjį:

log₂(x) = y.

Tada pagal logaritmo savybę lygtis tampa:

• y + log₂(x – 1) = 3.

Šis žingsnis padeda atskirti logaritmines dalis ir išreikšti nežinomąjį x paprastesne forma. Toliau dirbame su šia nauja lygtimi:

Lygties sprendimas po keitimo

Dirbame su lygtimi y + log₂(x – 1) = 3:

1. Perkelkite y į dešinę pusę: log₂(x – 1) = 3 – y.
2. Panaudokite logaritmo apibrėžimą, kad pašalintumėte logaritmą: x – 1 = 2^{(3 – y)}.
3. Pridėkite 1 abiem lygties pusėms: x = 2^{(3 – y)} + 1.

Dabar grįžtame prie nežinomojo y. Kadangi y = log₂(x), mes galime pakeisti atgal į pradinį nežinomąjį.

Lygties tikrinimas

Gautus x sprendinius privalu patikrinti, nes logaritmo apibrėžimas reikalauja, kad:

• x > 0
• x – 1 > 0, tai yra x > 1.

Jei kuris nors iš sprendinių pažeidžia šias sąlygas, jis netinka.

Pavyzdys su skaičiais

Tarkime, y = 2. Tada:

• log₂(x – 1) = 3 – 2 = 1.
• Panaudojame logaritmo apibrėžimą: x – 1 = 2¹ = 2.
• Pridedame 1: x = 3.

Atsakymas: x = 3.

Išvada

Nežinomojo keitimas leidžia logaritmines lygtis paversti paprastesnėmis ir lengviau išsprendžiamomis. Svarbu atidžiai tikrinti sprendinius, kad jie atitiktų logaritmo apibrėžimą. 😊

7. Logaritminių lygčių tikrinimas ⚠️

Visuomet patikrinkite gautus sprendinius, kad jie tenkintų logaritmo apibrėžimą (argumentas ir pagrindas atitinka sąlygas).

---

Populiariausios temos:

---

Grįžkite iš Logaritminės lygtys temos į MatematikosGuru.com pradžią