Aritmetinė progresija

---

Temų sritis ➤ VBE I (11 klasė) išplėstinis kursas

---

Aritmetinė progresija 📈

Aritmetinės progresijos apibrėžimas:
Aritmetinė progresija yra skaičių seka, kurios kiekvieno gretimo nario skirtumas yra pastovus. Šį skirtumą žymime ^d, ir tai vadinama progresijos skirtumu. Kiekvienas sekos narys gaunamas pridedant prie ankstesniojo skaičiaus tą patį skirtumą ^d.

Rekurentinė formulė:
Rekurentinė formulė aritmetinei progresijai yra: ^{a_n+1 = a_n + d}, kur ^d yra pastovus skirtumas tarp narių, o ^a₁ – pirmasis sekos narys. Naudojant šią formulę, galima apskaičiuoti bet kurį sekos narį žinant ankstesnį.

n-tojo nario formulė:
Bendroji formulė apskaičiuoti bet kurį sekos narį yra ^{a_n = a₁ + (n – 1) d}, kur ^a₁ yra pirmasis sekos narys, o ^d yra progresijos skirtumas.

Aritmetinės progresijos savybės:
Aritmetinė progresija gali būti didėjančioji, jei ^{d > 0}, arba mažėjančioji, jei ^{d < 0}. Jei ^{d = 0}, visi progresijos nariai yra vienodi, tai yra, seka pastovi.

Apibendrinimas 📚

Aritmetinė progresija yra skaičių seka, kurioje kiekvienas narys gaunamas pridedant prie ankstesniojo pastovų skirtumą ^d. Ji gali būti išreikšta tiek rekurentine formule, tiek bendrąja n-tojo nario formule, leidžiančia apskaičiuoti bet kurį sekos narį.

---

Aritmetinės progresijos savybės 📐

Aritmetinės progresijos savybė:
Kiekvienas aritmetinės progresijos narys, išskyrus pirmąjį ir paskutinįjį, yra gretimų narių aritmetinis vidurkis. Tai reiškia, kad bet kurį sekos narį ^a_n galima apskaičiuoti kaip dviejų kaimyninių narių vidurkį:

Formulė:
^{a_n = (a_n-1 + a_n+1) / 2}

Aiškinimas:
Šią formulę galima dar labiau supaprastinti naudojant skirtumo apibrėžimą ^d, kur ^d yra progresijos skirtumas. Tada:

^{a_n = a₁ + d(n – 1)}

Apibendrinimas:
Taip pat yra teisingas kitas teiginys: bet kuris sekos narys ^a_n gali būti išreikštas kaip dviejų nuo jo nutolusių narių aritmetinis vidurkis:

Formulė:
^{a_n = (a_n-k + a_n+k) / 2}

Pavyzdys:
Pavyzdžiui, trečiasis narys ^a₃ gali būti išreikštas kaip antrojo ir ketvirtojo nario vidurkis: ^{a₃ = (a₂ + a₄) / 2}. Panašiai, septynioliktasis narys ^a₁₇ gali būti išreikštas per šešioliktojo ir aštuonioliktojo nario vidurkius.

Atmink! 🧠

Formulė: ^{a_n = (a_n-k + a_n+k) / 2}

Čia ⁿ, ^k priklauso ^N, ir ^{k < n}.

---

Aritmetinės progresijos suma 🧮

Sprendžiant uždavinius, dažnai reikia apskaičiuoti aritmetinės progresijos pirmųjų n narių sumą. Remiantis jau žinoma aritmetinės progresijos savybe:

Formulė:
^{a_n = (a_n-k + a_n+k) / 2}

Lengvai įsitikinsime, kad pirmųjų n narių sumą galime apskaičiuoti taip:

Pirmųjų n narių suma:
^{S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n-1 + a_n = (a₁ + a_n) / 2 * n}

Įrašę n-tojo nario išraišką į formulę, gauname kitą sumos formulę:

Alternatyvi formulė:
^{S_n = (2a₁ + d(n – 1)) / 2 * n}

Aritmetinės progresijos n-tojo nario skaičiavimas 🔢

Žinant pirmųjų n narių sumą, nesunku apskaičiuoti n-tojo nario reikšmę. Žiūrėkime lygybes:

Sekų lygybės:
^{S_n = a₁ + a₂ + … + a_n
S_n-1 = a₁ + a₂ + … + a_n-1}

Iš jų matyti, kad:

n-tojo nario išraiška:
^{a_n = S_n – S_n-1}

Taigi, pirmasis narys bus tiesiog ^{S₁ = a₁}, antrasis narys bus ^{S₂ – S₁} ir t.t.

---

Populiariausios temos:

---

Grįžkite iš Aritmetinė progresija temos į MatematikosGuru.com pradžią