Geometrinė progresija

---

Temų sritis ➤ VBE I (11 klasė) išplėstinis kursas

---

Geometrinė progresija 📊

Geometrinės progresijos apibrėžimas:
Geometrinė progresija yra skaičių seka ^(b_n), kurioje kiekvieno gretimo nario santykis yra pastovus. Tai reiškia, kad ^{b_n+1 / b_n = q}, kur ^q yra geometrinės progresijos vardiklis.

Rekurentinė formulė:
Geometrinės progresijos rekurentinė formulė yra: ^{b_n+1 = b_n * q}, kur ^q yra pastovus vardiklis, o ^b₁ – pirmasis sekos narys. Ši formulė padeda apskaičiuoti bet kurį sekos narį iš ankstesniojo.

n-tojo nario formulė:
Norint rasti bet kurį sekos narį, galima naudoti bendrąją formulę: ^{b_n = b₁ * qn-1}, kur ^b₁ yra pirmasis narys, o ^q – progresijos vardiklis.

Geometrinės progresijos savybės:
Progresija gali būti didėjančioji, kai ^{q > 1}, arba mažėjančioji, kai ^{0 < q < 1}. Jei ^{q = 1}, visi sekos nariai yra vienodi, tai reiškia, kad seka yra pastovi. Jei ^q neigiamas, geometrinės progresijos nariai keičiasi teigiamais ir neigiamais, todėl seka nėra nei aiškiai didėjančioji, nei mažėjančioji.

Apibendrinimas 🌟

Geometrinė progresija yra skaičių seka, kurioje kiekvienas narys gaunamas dauginant ankstesnįjį iš pastovaus skaičiaus – geometrinės progresijos vardiklio ^q. Ji gali būti išreikšta rekurentine formule arba bendrąja n-tojo nario formule, kurios pagalba galima apskaičiuoti bet kurį sekos narį.

---

Geometrinės progresijos savybė 📐

Kiekvieno sekos nario, išskyrus pirmąjį ir paskutinį, kvadratas lygus greta esančių narių sandaugai. Tai išreiškiama taip:

Formulė:
^{b_n2 = b_n-1 * b_n+1}

Šią savybę lengva patvirtinti, nes:

^{b_n-1 * b_n+1 = b₁ * qn-2 * b₁ * qn = (b₁ * qn)2 = b_n2}

Analoginė savybė 📊

Analogiškai galime pasakyti, kad bet kurio sekos nario kvadratas lygus dviejų vienodai nutolusių narių sandaugai:

Formulė:
^{b_n2 = b_n-k * b_n+k}

Pavyzdžiui, trečiojo nario kvadratas lygus antro ir ketvirto narių sandaugai:

^{b₃2 = b₂ * b₄}

Tai rodo, kaip geometrinės progresijos narių sąryšiai yra struktūriškai simetriški.

---

Geometrinės progresijos narių suma 💡

Kai q ≠ 1, geometrinės progresijos pirmųjų n narių suma gali būti apskaičiuojama pagal šią formulę:

Formulė:
S_n = b₁ * (1 – qⁿ) / (1 – q)

Taip pat:

Alternatyvi formulė:
S_n = (b_n – q * b_n) / (1 – q)

Ši formulė leidžia rasti sumą n-tajam progresijos nariui:

S_n = S_n – S_n-1

Remdamiesi sumos formule, galime atkurti geometrinę progresiją. Taigi, n-tasis narys gali būti randamas pagal skirtumą tarp dviejų sekos sumų:

b_n = S_n – S_n-1

Pavyzdžiui:

• b₁ = S₁
• b₅ = S₅ – S₄

Šios formulės padeda tiksliai apskaičiuoti bet kurios geometrinės progresijos narius ir jų sumas. 🌟

---

Nykstamoji geometrinė progresija 🐌

Nykstamoji geometrinė progresija – tai geometrinė progresija, kurioje vardiklio q modulis yra mažesnis už 1 (|q| < 1). Pavyzdžiui, seka: 9, –3, 1, 1/3, 1/9, 1/27… yra nykstamoji progresija, nes:

• Visų gretimų narių santykis yra pastovus ir lygus –1/3.
• | –1/3 | < 1.

Šioje progresijoje galime apskaičiuoti pirmųjų n narių sumą pagal geometrinės progresijos sumos formulę:

Formulė:
S_n = b₁ (1 – qⁿ) / (1 – q)

Visų narių suma:
S = b₁ / (1 – q)

Pavyzdys:

Įsivaizduokime, kad sraigė keliauja 1 metrą. Pirmą valandą ji įveikia pusę metro, antrą valandą – pusę to, ką liko (t. y. 1/4 metro), trečią valandą dar pusę likusio (t. y. 1/8 metro), ir t. t. Galima išreikšti šią situaciją progresija:

Kelias: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + …

Matome, kad kiekvieną valandą sraigė įveikia vis mažiau ir mažiau atstumo. Ar ji kada nors pasieks tikslą? Taip, sraigės viso kelio suma artėja prie 1 metro.

Ši seka laikoma nykstamąja progresija, nes:

• q = 1/2 ir |q| < 1.

Sraigės nueitą atstumą galime apskaičiuoti pagal visų narių sumos formulę:

Formulė:
S = b₁ / (1 – q)

Šiuo atveju, suma būtų lygi 1 metrui.

---

Populiariausios temos:

---

Grįžkite iš Geometrinė progresija temos į MatematikosGuru.com pradžią