Veiksmai su laipsniais ir šaknimis

Temų sritis ➤ VBE I (11 klasė) išplėstinis kursas

Kvadratinių šaknų sudėtis, atimtis ir daugyba 📏

1️⃣ Kvadratinės šaknies sudėtis ir atimtis 🔢

Sudėdant arba atimdant kvadratines šaknis, būtina sąlyga, kad jų pošakniai būtų vienodi. Tik tokiu atveju galima atlikti šaknų sudėtį ar atimtį. Pavyzdžiui, √a + √a = 2√a, bet √a + √b negali būti supaprastinta, jei a ≠ b.

2️⃣ Kvadratinės šaknies daugyba 🅰️

Kai dauginame kvadratines šaknis, pošakniai sudauginami. Tai reiškia, kad a√b · c√d = (a·c)√(b·d). Pavyzdžiui, √2 · √3 = √6. Ši taisyklė galioja tik teigiamoms reikšmėms (a, b, c, d > 0).

3️⃣ Kvadrato šaknis 📏

Kvadratinė šaknis keliamas kvadratu pagal formulę (√a)² = a. Tai reiškia, kad kvadrato šaknis ir kvadrato kėlimas yra atvirkštiniai veiksmai, todėl šie du veiksmai „panaikina” vienas kitą.

Šaknies traukimas iš skaičiaus kvadrato: skaičiaus modulis 📏

1️⃣ Kvadratinė šaknis ir modulis 🔢

Traukiant kvadratinę šaknį iš skaičiaus kvadrato, rezultatas visada bus teigiamas. Kvadratinė šaknis iš a² yra modulis |a|, kuris užtikrina, kad rezultatas yra neneigiamas, nesvarbu, ar a yra teigiamas, ar neigiamas.

2️⃣ Teigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis 🅰️

Jei a yra teigiamas skaičius (a > 0), kvadratinė šaknis iš a² yra tiesiog a. Pavyzdžiui, √4 = 2 arba √25 = 5.

3️⃣ Neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis ➖

Jei a yra neigiamas skaičius (a < 0), kvadratinė šaknis iš a² vis tiek bus teigiama ir lygi |a|. Pavyzdžiui, √(-2)² = √4 = 2 arba |(-2)| = 2.

4️⃣ Apibendrinimas ✏️

Kvadratinė šaknis negali būti neigiama, todėl ištraukus šaknį iš skaičiaus kvadrato, visada gauname teigiamą rezultatą, nepriklausomai nuo to, ar pradinė reikšmė buvo teigiama, ar neigiama. Rezultatas atitinka skaičiaus modulį.

Vardiklio iracionalumo naikinimas: pagrindinės taisyklės 📏

1️⃣ Iracionalumo problema 🔢

Kai reiškinyje su šaknimis vardiklyje yra iracionalumas, tai gali apsunkinti skaičiavimus. Todėl siekiama šį iracionalumą panaikinti, kad atsakymas būtų tvarkingesnis ir lengviau suprantamas. Naudojamos kelios pagrindinės taisyklės tam pasiekti.

2️⃣ Paprastos šaknies vardiklis 🅰️

Jei vardiklyje yra paprasta šaknis, iracionalumas panaikinamas padauginant skaitiklį ir vardiklį iš tos pačios šaknies. Pavyzdžiui, a/√b tampa a√b/b. Tai paprasta technika, kai vardiklyje yra vienas šaknies narys.

3️⃣ Dvinario formos vardiklis (a – b) ➕➖

Jei vardiklyje yra dvinaris a – b, kurio bent vienas narys turi šaknį, naudojama formulė (a + b)(a – b) = a² – b², kad būtų pašalintas iracionalumas. Vardiklis ir skaitiklis padauginami iš a + b, o formulė leidžia atsikratyti šaknų vardiklyje.

4️⃣ Dvinario formos vardiklis (a + b) 🔄

Analogiškai, jei vardiklyje yra dvinaris a + b, iracionalumas taip pat naikinamas naudojant tą pačią formulę: (a + b)(a – b) = a² – b². Skaitiklis ir vardiklis dauginami iš a – b, kad atsakymas būtų tvarkingas.

5️⃣ Apibendrinimas ✏️

Naudojant šias taisykles galima panaikinti iracionalumą vardiklyje, naudojant šaknų dauginimą ir formulę (a + b)(a – b). Tai padeda skaičiavimus atlikti paprasčiau ir aiškiau.

Veiksmai su laipsniais, kurių rodiklis yra sveikasis skaičius 📏

1️⃣ Pagrindinės laipsnių taisyklės 🔢

Laipsnių veiksmams su sveikaisiais rodikliais taikomos kelios taisyklės. Pagrindiniai veiksmai yra kėlimas nuliniu laipsniu, laipsnis su neigiamu rodikliu, laipsnių sudėtis ir atimtis, laipsnių daugybos ir dalybos taisyklės.

2️⃣ Kėlimas nuliu 🅰️

Bet kuris skaičius, išskyrus nulį, pakeltas laipsniu 0, yra lygus 1: a⁰ = 1. Pavyzdžiui, 2⁰ = 1.

3️⃣ Neigiamas rodiklis ➖

Skaičius, pakeltas laipsniu, kurio rodiklis neigiamas, yra apversčiamas: a^-n = 1/aⁿ. Pavyzdžiui, 2^-2 = 1/4.

4️⃣ Laipsnių daugyba ir dalyba

Jei atliekame daugybos veiksmą su dviem vienodo pagrindo laipsniais, jų rodikliai sudedami: a^m · aⁿ = a^m+n.
Jei daliname, rodikliai atimami: a^m / aⁿ = a^m-n.

5️⃣ Kėlimas laipsniu 📏

Jei skaičius, pakeltas vienu laipsniu, dar kartą keliamas kitu laipsniu, rodikliai dauginami: (aⁿ)^m = a^nm. Pavyzdžiui, (2³)² = 2⁶.

6️⃣ Laipsniai sandaugose ir dalmenyse ➕➗

Skaičių sandauga arba dalmuo, pakelti laipsniu pakeičiami kiekvieno jų daugybe/dalyba, kuomet kiekvienas narių atskirai keliamas tuo pačiu laipsniu: (a·b)ⁿ = aⁿ · bⁿ ir (a/b)ⁿ = aⁿ / bⁿ.

Kvadratinių šaknų ir n-tojo laipsnio šaknų taisyklės 📏

1️⃣ Pagrindinės taisyklės 🔢

Veiksmai su kvadratinėmis ir n-tojo laipsnio šaknimis turi specifines taisykles. Kai a > 0 ir b > 0, šie veiksmai yra naudojami supaprastinant išraiškas su šaknimis ir laipsniais.

2️⃣ Pagrindinė šaknies taisyklė 🅰️

Kvadratinė šaknis iš aⁿ yra lygi a, kai n yra lyginis: √(aⁿ) = a. Pavyzdžiui, √(3²) = 3.

3️⃣ Šaknų daugyba ir dalyba ➕➗

Šaknis iš dviejų sandaugų yra lygi atskirų šaknų sandaugai: √(a·b) = √a·√b. Pavyzdžiui, √(4·9) = √36 = 6.
Panašiai, šaknis iš dalmens yra lygi atskirų šaknų dalmeniui: √(a/b) = √a/√b. Pavyzdžiui, √(81/625) = 9/25.

4️⃣ Kėlimas laipsniu 📏

Šaknis iš skaičiaus a, pakelta n-tuoju laipsniu, yra lygi a^k: ⁿ√(a^k) = a^k/n. Pavyzdžiui, √(3²) = 3.

5️⃣ Kombinuoti laipsniai 🔄

Kai skaičius, pakeltas n-tuoju laipsniu, keliamas dar kitu laipsniu, abu laipsniai dauginami: ⁿ√(a^m) = a^m/n. Pavyzdžiui, √(81) = 9, o √(81)³ = 9³ = 729.

Laipsniai su racionaliuoju rodikliu: taisyklės 📏